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使用CKKS全同态求近似倒数(近似乘法逆元)

咸鱼菲菲 2024-06-13 06:01:02
简介使用CKKS全同态求近似倒数(近似乘法逆元)

求倒数的算法

两个数互为倒数,是说这两个数乘起来等1.比如a和b互为倒数,那么ab=1.

5的倒数是0.2,我们可以很简单的求出来,但是如何在密文域中求一个数的倒数呢?

文章《An investigation of complex operations with word-size homomorphic encryption》中给出了一个算法。

我们假设y=1-x,y的模小于(对于实数来说,就是绝对值)0.5,那么有下面的式子成立

x(1+y)(1+y^2)(1+y^{2^2}) cdots (1+y^{2^{r-1}})=1-y^{2^{r}}

将x=1-y代入,用平方差公式,可以快速证明。

当r足够大的时候,显然,上述式子就为1,我们要求的x的倒数,就可以通过左边的式子来求

frac{1}{x}=(1+y)(1+y^2)(1+y^{2^2}) cdots

这样,我们就得到了一个迭代法,可以只用加法和乘法来计算一个数的倒数。

但是,上面的方法可能有一点问题,也就是这时候的x只能是[0.5,1]这个范围,而且,参与计算的y是小数。

我们将上面的式子左右两边同时乘以一个p^{2^r},令z=xp,y=p-z那么有

z(p+y)(p^2+y^2)(p^{2^2}+y^{2^2})cdots (p^{2^{r-1}}+y^{2^{r-1}})=p^{2^r}-y^{2^r}

这样就可以计算当y的模小于p/2了。

不过,显然,当p=1的时候,计算量会小很多

TenSEAL使用CKKS代码示例

import tenseal as ts
ctx=ts.context(ts.SCHEME_TYPE.CKKS, poly_modulus_degree=8192, coeff_mod_bit_sizes=[44,30,30,30,30,44])
ctx.global_scale=2**30
import numpy as np 
m1=np.array([1.2,0.6,0.4])
c0=ts.ckks_vector(ctx,m1)
p1=1
p=p1
r=4
t=p-c0
c=t
v=p+c
for i in range(r-1):
    c=c*c
    p=p*p
    v=v*(p+c)
m=v.decrypt()
m=np.array(m)/(p1**(2**(r)))

print(m)

print(m*m1)

当r=2或者3的时候,跑出来的结果就已经比较准确了

风语者!平时喜欢研究各种技术,目前在从事后端开发工作,热爱生活、热爱工作。