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算法记录 | Day46 动态规划
139.单词拆分
思路:
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i] : 字符串长度为i的话,dp[i]为true,表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
2.确定递推公式
- 如果
s[0: j]
可以拆分为单词(即dp[j] == True
),并且字符串s[j: i]
出现在字典中,则dp[i] = True
。 - 如果
s[0: j]
不可以拆分为单词(即dp[j] == False
),或者字符串s[j: i]
没有出现在字典中,则dp[i] = False
。
3.dp数组如何初始化:
- 长度为 0 的字符串
s[0: i]
可以拆分为单词,即dp[0] = True
。
4.确定遍历顺序:题目中说是拆分为一个或多个在字典中出现的单词,所以这是完全背包。本题其实求的是排列数。 先遍背包,再遍历物品。
5举例推导dp[i]:
以输入: s = “leetcode”, wordDict = [“leet”, “code”]为例,dp状态如图:
class Solution:
def wordBreak(self, s: str, wordDict: List[str]) -> bool:
size = len(s)
dp = [False for _ in range(size + 1)]
dp[0] = True
for i in range(size + 1):
for j in range(i):
if dp[j] and s[j: i] in wordDict:
dp[i] = True
return dp[size]
多重背包
多重背包问题:有 n 种物品和一个最多能装重量为 W的背包,第 i种物品的重量为weight[i],价值为value[i],件数为count[i]。请问在总重量不超过背包载重上限的情况下,能装入背包的最大价值是多少?
03.背包问题知识(三) | 算法通关手册 (itcharge.cn)
1.确定dp数组以及下标的含义定义状态:dp[w]将物品装入最多能装重量为w的背包中,可以获得的最大价值。
2.状态转移方程:dp[w]=max{dp[w-kxweight[i-1]]+kxvalue[]i-1}
3.初始条件:无论背包载重上限为多少,只要不选择物品,可以获得的最大价值一定是 0,即 ,dp[w]=0,
class Solution:
# 思路 2:动态规划 + 滚动数组优化
def multiplePackMethod2(self, weight: [int], value: [int], count: [int], W: int):
size = len(weight)
dp = [0 for _ in range(W + 1)]
# 枚举前 i 种物品
for i in range(1, size + 1):
# 逆序枚举背包装载重量(避免状态值错误)
for w in range(W, weight[i - 1] - 1, -1):
# 枚举第 i - 1 种物品能取个数
for k in range(min(count[i - 1], w // weight[i - 1]) + 1):
# dp[w] 取所有 dp[w - k * weight[i - 1]] + k * value[i - 1] 中最大值
dp[w] = max(dp[w], dp[w - k * weight[i - 1]] + k * value[i - 1])
return dp[W]
背包问题总结
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
背包递推公式
问能否能装满背包(或者最多装多少):dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); ,对应题目如下:
问装满背包有几种方法:dp[j] += dp[j - nums[i]] ,对应题目如下:
- 动态规划:494.目标和(opens new window)
- 动态规划:518. 零钱兑换 II(opens new window)
- 动态规划:377.组合总和Ⅳ(opens new window)
- 动态规划:70. 爬楼梯进阶版(完全背包)(opens new window)
问背包装满最大价值:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); ,对应题目如下:
问装满背包所有物品的最小个数:dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]); ,对应题目如下:
遍历顺序
01背包
二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的,且第二层for循环是从小到大遍历。
一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量,且第二层for循环是从大到小遍历。
一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维dp数组实现的01背包其实是有很大差异的,大家需要注意!
完全背包
纯完全背包的一维dp数组实现,先遍历物品还是先遍历背包都是可以的,且第二层for循环是从小到大遍历。
但是仅仅是纯完全背包的遍历顺序是这样的,题目稍有变化,两个for循环的先后顺序就不一样了。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品。
相关题目如下:
- 求组合数:动态规划:518.零钱兑换II(opens new window)
- 求排列数:动态规划:377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)、动态规划:70. 爬楼梯进阶版(完全背包)(opens new window)
如果求最小数,那么两层for循环的先后顺序就无所谓了,相关题目如下:
- 求最小数:动态规划:322. 零钱兑换 (opens new window)、[动态规划:279.完全平方数(opens new window)