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x.1 前言

perceptron感知机是二分类的线性分类模型，输入为实例的特征向量，输出为实例类别(取-1，+1)。perceptron旨在求出将训练数据进行线性划分的分离超平面，属于classification判别模型，策略为基于误分类的损失函数，算法为梯度下降算法。

perceptron由Rosenblatt于1957年提出，是神经网络与SVM支持向量机的基础。

为了方便理解，下面每讲一个统计学习方法都是根据统计学习三要素进行切入点：模型，策略，算法。

x.2 模型

preceptron意在将正负类别分开，若特征空间R的维度为n，则分离超平面的维度空间为n-1。

x.3 策略

首先定义N-1维超平面wx+b=0。

定义x_0到超平面的距离。

写出所有误分类点到超平面的距离。

得到损失函数为2.4中所示：

x.4 算法

perceptron模型中的未知参数为w和b，为了计算得到w和b，即求解最小化Loss损失函数的参数w和b

我们使用梯度下降算法来更新参数。

batch gradient descent一次性使用所有训练集进行梯度计算和参数更新，但是计算量大。

stochastic gradient descent(SGD)随机选取一个误分类点对w，b进行参数更新。

于是综合上面的方法诞生出mini-batch gradient descent随机选取小批量个误分类点对w，b进行参数更新。

x.4.1 SGD和BGD和miniBGD区别

在PyTorch框架中，SGD代表随机梯度下降法，与批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）是不同的。

在批量梯度下降法中，我们使用整个训练集计算梯度并更新模型参数。而在随机梯度下降法中，每次仅随机选择一个样本计算梯度并更新参数。随机梯度下降法通常具有更快的收敛速度，但由于每个样本的梯度估计都是不准确的，因此可能会导致噪声较大的更新。

PyTorch中的SGD优化器是一种基于随机梯度下降的优化算法。它不同于Batch Gradient Descent，因为它每次只计算一个样本的梯度。但是，为了减少噪声和提高稳定性，通常会在计算梯度时选择一小批样本（即mini-batch），然后对这些样本的梯度进行平均，最后更新模型参数。

下面是一个简单的PyTorch代码示例，演示如何使用SGD优化器进行训练：

import torch
import torch.optim as optim

# 定义模型
model = torch.nn.Linear(10, 1)

# 定义损失函数
criterion = torch.nn.MSELoss()

# 定义优化器
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)

# 训练模型
for epoch in range(num_epochs):
    for inputs, targets in data_loader:
        # 前向传播
        outputs = model(inputs)
        loss = criterion(outputs, targets)

        # 反向传播并更新参数
        optimizer.zero_grad()
        loss.backward()
        optimizer.step()

在这个示例中，我们使用SGD优化器来优化一个线性模型，并在训练循环中使用mini-batch。在每个迭代中，我们随机从数据集中选择一个mini-batch，计算损失和梯度，并更新模型参数。

x.5 算法收敛性

当训练数据集线性可分的时候，perceptron是收敛的。perceptron算法存在许多解，这些解依赖于初值的选择，迭代过程中误分类点的选择顺序。

x.6 感知机学习算法的对偶形式

了解即可，即误分类点被误分类n次，则乘以次数n用于更新参数w，b。