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LeetCode300.最长递增子序列

动态规划五部曲：

1，dp[i]的定义：本题中，正确定义dp数组的含义十分重要。dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度。为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为在做递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾， 要不然这个比较就没有意义了，不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。

2，状态转移方程：位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。

3，dp[i]的初始化：每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1。

4，确定遍历顺序：dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。

5，举例推导dp数组：输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：

Java代码如下：

    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
        }
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }

LeetCode674. 最长连续递增序列

动态规划五部曲：

1，确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。注意这里的定义，一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。

2，确定递推公式：如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间历）。既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。

3，dp数组如何初始化：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。所以dp[i]应该初始1;

4，确定遍历顺序：从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。

5，举例推导dp数组：已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：

Java代码如下：

    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            dp[i] = 1;
        }
        int res = 1;
        for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {
            if (nums[i + 1] > nums[i]) {
                dp[i + 1] = dp[i] + 1;
            }
            res = res > dp[i + 1] ? res : dp[i + 1];
        }
        return res;
    }

LeetCode718. 最长重复子数组

动态规划五部曲：

1，确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）。那dp[0][0]是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。

2，确定递推公式：根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

3，dp数组如何初始化：根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

4，确定遍历顺序：外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。那又有同学问了，外层for循环遍历B，内层for循环遍历A。不行么？也行，一样的，我这里就用外层for循环遍历A，内层for循环遍历B了。同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。

5，举例推导dp数组：拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：

Java代码如下：

    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int result = 0;
        int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
        
        for (int i = 1; i < nums1.length + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < nums2.length + 1; j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                    result = Math.max(result, dp[i][j]);
                }
            }
        }
        
        return result;
    }