订阅专栏,2023年9月数学建模分享思路+代码+论文

目录

1. 数学建模概述

2. 动态规划原理

2.1 动态规划案例：斐波那契数列

3. 数学建模案例：资源分配问题

3.1 问题建模

3.2 动态规划求解

3.3 示例

4. 总结

在本文中，我们将介绍数学建模的概念以及动态规划（Dynamic Programming, DP）方法。我们将通过详细讲解动态规划原理来理解如何使用这种方法解决实际问题。在本文的后半部分，我们将通过一个数学建模案例详细介绍如何使用Matlab实现动态规划算法。

1. 数学建模概述

数学建模是一种将现实世界中的问题转化为数学问题的方法，通过构建数学模型来描述、分析和解决现实问题。数学建模广泛应用于工程、物理、生物、经济和社会科学等领域。数学建模的主要步骤包括：

1. 确定问题：从现实世界中确定待解决的问题。
2. 抽象和假设：将现实问题抽象为数学问题，对实际情况进行适当简化和假设。
3. 建立模型：根据抽象和假设，构建数学模型来描述现实问题。
4. 模型求解：利用数学方法和计算机技术求解模型。
5. 结果分析：对求解结果进行分析，验证模型的合理性和有效性。
6. 模型优化：根据结果分析，对模型进行改进和优化。

2. 动态规划原理

动态规划是一种将复杂问题分解为子问题并逐步求解的优化方法，用于解决具有最优子结构和重叠子问题的问题。动态规划的核心思想是将问题分解为更小的子问题，并将子问题的解缓存起来以避免重复计算。动态规划通常用于求解最优化问题，如最短路径、最长公共子序列等。

动态规划的主要步骤包括：

1. 确定状态：状态是描述问题的特征量，通常用一个或多个变量来表示。
2. 建立状态转移方程：状态转移方程描述了状态之间的变化关系。通过状态转移方程，我们可以从子问题的解推导出原问题的解。
3. 确定边界条件：边界条件是动态规划问题的初始状态，通常表示最简单的子问题。
4. 自底向上或自顶向下求解：根据状态转移方程和边界条件，采用自底向上或自顶向下的方法逐步求解问题。

下面我们将通过一个简单的案例来说明动态规划的原理。

2.1 动态规划案例：斐波那契数列

斐波那契数列是一个常见的数列，其定义如下：

$$
F(n) = egin{cases}
0, & ext{if } n = 0
1, & ext{if } n = 1
F(n-1) + F(n-2), & ext{if } n > 1
end{cases}
$$

我们可以使用动态规划求解斐波那契数列。首先，确定状态：状态是斐波那契数列的项数n。然后，建立状态转移方程：$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$。接下来，确定边界条件：$F(0) = 0, F(1) = 1$。最后，我们可以使用自底向上或自顶向下的方法求解斐波那契数列。

2.1.1 自底向上求解

自底向上求解斐波那契数列的方法是从边界条件开始，逐步计算斐波那契数列的各项，直到计算出目标项为止。我们可以使用一个数组来存储已计算出的斐波那契数列项，避免重复计算。

function F = fibonacci_bottom_up(n)
    if n == 0
        F = 0;
        return;
    end
    
    dp = zeros(1, n+1);
    dp(1) = 0;
    dp(2) = 1;
    
    for i = 3:n+1
        dp(i) = dp(i-1) + dp(i-2);
    end
    
    F = dp(n+1);
end

2.1.2 自顶向下求解

自顶向下求解斐波那契数列的方法是从目标项开始，按照状态转移方程将问题分解为更小的子问题。我们可以使用一个数组来存储已计算出的斐波那契数列项，避免重复计算。

function F = fibonacci_top_down(n)
    dp = zeros(1, n+1);
    F = fibonacci_top_down_helper(n, dp);
end

function F = fibonacci_top_down_helper(n, dp)
    if n == 0
        F = 0;
        return;
    elseif n == 1
        F = 1;
        return;
    elseif dp(n+1) > 0
        F = dp(n+1);
        return;
    end
    
    F = fibonacci_top_down_helper(n-1, dp) + fibonacci_top_down_helper(n-2, dp);
    dp(n+1) = F;
end

3. 数学建模案例：资源分配问题

考虑一个资源分配问题，有n个项目和m个资源，每个项目需要一定数量的资源才能完成。我们的目标是在资源有限的情况下，分配资源使得完成的项目数量最大。这是一个典型的最优化问题，我们可以使用动态规划方法求解。

3.1 问题建模

首先，我们需要将实际问题抽象为数学问题。我们可以用一个矩阵$A$表示项目与资源之间的关系，其中$A_{ij}$表示第$i$个项目需要的第$j$个资源的数量。我们可以用一个向量$R$表示各个资源的总量，其中$R_j$表示第$j$个资源的总量。我们的目标是找到一个向量$X$，其中$X_i$表示分配给第$i$个项目的资源数量，使得$sum_{i=1}^n X_i$最大，同时满足$AX le R$。

为了应用动态规划方法，我们需要确定状态、状态转移方程和边界条件。我们可以将状态定义为当前项目和剩余资源的组合。状态转移方程表示了在给定状态下，选择某个项目会如何改变剩余资源。边界条件是没有剩余资源的情况。

3.2 动态规划求解

我们可以采用自顶向下的方法求解资源分配问题。首先，我们需要定义一个递归函数，该函数接受当前项目和剩余资源作为参数，并返回在给定状态下可以完成的最大项目数量。我们可以使用一个三维数组来存储已计算出的子问题解，避免重复计算。

function max_projects = resource_allocation(A, R)
    n = size(A, 1);
    m = size(A, 2);
    
    % 初始化存储子问题解的三维数组
    dp = -1 * ones(n+1, R(1)+1, R(2)+1);
    
    max_projects = resource_allocation_helper(A, R, 1, dp);
end

function max_projects = resource_allocation_helper(A, R, i, dp)
    n = size(A, 1);
    m = size(A, 2);
    
    % 边界条件：没有剩余资源或已处理完所有项目
    if i > n || all(R < 0)
        max_projects = 0;
        return;
    end
    
    % 如果已计算出当前状态的解，直接返回
    if dp(i, R(1)+1, R(2)+1) ~= -1
        max_projects = dp(i, R(1)+1, R(2)+1);
        return;
    end
    
    % 状态转移：选择第i个项目或不选择第i个项目
    choose_i = 0;
if all(R >= A(i, :))
R_remaining = R - A(i, :);
choose_i = 1 + resource_allocation_helper(A, R_remaining, i+1, dp);
end

not_choose_i = resource_allocation_helper(A, R, i+1, dp);

% 取两种情况中的最大值作为当前状态的解
max_projects = max(choose_i, not_choose_i);

% 将计算出的解保存到数组中，避免重复计算
dp(i, R(1)+1, R(2)+1) = max_projects;

3.3 示例

假设我们有3个项目和2种资源。项目与资源之间的关系矩阵A和资源总量向量R如下：

A = [
    2, 3;
    4, 2;
    3, 5;
];

R = [7, 8];

我们可以使用resource_allocation函数求解该问题：

max_projects = resource_allocation(A, R);
fprintf('The maximum number of projects that can be completed is %d.
', max_projects);

输出结果为：

The maximum number of projects that can be completed is 2.

这意味着在给定资源限制下，我们可以完成两个项目。

4. 总结

在本文中，我们介绍了数学建模的概念以及动态规划方法，并通过一个斐波那契数列的示例详细讲解了动态规划的原理。在数学建模案例部分，我们使用动态规划方法求解了一个资源分配问题，并使用Matlab实现了相关算法。

动态规划是一种非常强大的优化方法，可以应用于许多实际问题。通过掌握动态规划的原理和技巧，我们可以更好地解决具有最优子结构和重叠子问题的问题。