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二叉树的基本认识（一）

刻晴赛高 2024-06-17 10:48:31
简介二叉树的基本认识（一）

        要了解二叉树，就必然要知道什么是树，树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。那么树有着什么样的特点吗？当然，每种数据结构都有着自己的特点。

1. 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
2. 除根结点外，其余结点被分成 M(M > 0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 ...... 、 Tm ，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继 。
3. 树是递归定义的。

树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构，并且每个节点有且只有一个父节点（除了根节点外）。一个N个节点的树只有N-1个条边。
        当我们知道树长什么样后，我们就得知道关于树的一些概念了。
结点的度 ：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 
树的度 ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 
叶子结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点；（也就是没有子树）
双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 
孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 
根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；（也就是最上面的那个节点）
结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推
树的高度或深度 ：树中结点的最大层次；
树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点；
兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 
堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；
结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；
子孙 ：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
森林 ：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林
到现在我们才开始进入二叉树的学习了。
那么什么是二叉树呢？二叉树，听名字就知道最多只有两根叉的树，那么只有一个叉的树算不算二叉树呢？算，当然算，不过我们更喜欢叫他链表。 一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1. 或者为空
2. 或者是由 一个根节 点加上两棵别称为 左子树 和 右子树 的二叉树组成

 

从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于 2 的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

都是二叉树，那么它们之间有着区别吗？当然， 毕竟人都有着人种的区别呢。树也如此，二叉树有着几种特殊的二叉树，

1. 满二叉树 : 一棵二叉树，如果 每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说， 如果一棵 二叉树的层数为 K ，且结点总数是， 则它就是满二叉树 。
2. 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

 

3.二叉搜索树：就是左树的值都小于父节点，右树的值都大于父节点。
4.平衡二叉树：任意节点的子树的高度差都小于等于 1。

 

二叉树的性质
1. 若规定 根结点的层数为 1 ，则一棵 非空二叉树的第 i 层上最多有 (i>0) 个结点
2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为 1 ，则 深度为 K 的二叉树的最大结点数是2的k次方 - 1
(k>=0)
3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋ 1
4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为 上取整log2（n + 1）上取整。
5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树 ，如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 ，则对于 序号为 i 的结点有 ：
若 i>0 ， 双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根结点编号 ，无双亲结点
若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ，否则无左孩子
若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ，否则无右孩子
二叉树的存储
二叉树的存储结构 分为： 顺序存储 和 类似于链表的链式存储 。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式。（不是说最多只有两个叉吗？没错，三叉比二叉多出一个叉多出的其实是多出一个指向父节点的叉）。
风语者！平时喜欢研究各种技术，目前在从事后端开发工作，热爱生活、热爱工作。

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