动态规划五部曲

1、确定dp数组以及下标的含义
2、确定递推公式
3、dp数组初始化
4、确定遍历顺序
5、举例推导dp数组

1 509 斐波那契数

动规五部曲：

1、确定dp数组以及下标的含义
使用一个一维dp数组来保存递归的结果；
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]。

2、确定递推公式
题目已经把递推公式给了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3、dp数组初始化
题目中把如何初始化也直接给了，如下：
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;

4、确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历

5、举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

int fbn(int n) {
    if (n <= 1) return n; // 因为下面直接对dp[2]操作了，防止空指针
    vector<int> dp(n + 1);
    dp[1] = 0;
    dp[2] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) { // 注意i是从2开始的
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}

之后，可以简化dp数组，dp0为目标数的前一个，dp1为目标数的前两个。目标数 = dp0+dp1

int dp[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; ++i){
	int sum = dp[0] + dp[1];
	dp[0] = dp[1]
	dp[1] = sum;
}

2 70 爬楼梯

爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。
那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。
所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，想到动态规划。

定义一个一维数组来记录不同楼层的状态
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

2、确定递推公式
从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。

在推导dp[i]的时候，一定要时刻想着dp[i]的定义，否则容易跑偏。
这体现出确定dp数组以及下标的含义的重要性！

3、dp数组如何初始化
题目中说了n是一个正整数，所以不考虑dp[0]如何初始化，只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dp[i]的定义。

4、确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的。

5、举例推导dp数组
举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是这样的。

到这里，此题就是斐波那契变种

int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        int dp[2];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 2;
        for(int i = 3; i <= n; ++i){
            int sum = dp[0] + dp[1];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = sum;
        }
        return dp[1];
}

3 746 使用最小花费爬楼梯

1、确定dp数组以及下标的含义
到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。

2、确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

那么是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？答：一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

3、dp数组如何初始化
看一下递归公式，dp[i]由dp[i - 1]，dp[i - 2]推出，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。

题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 从 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]。
所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;

4、确定遍历顺序
因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

5、举例推导dp数组

 int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        vector<int> dp(cost.size() + 1);
        dp[0] = 0; // 默认第一步不花费体力的
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[cost.size()];
}

优化

int dp[2]; 
dp[0] = 0;
dp[1] = 0;
for(int i = 2; i <= cost.size(); ++i) {
int sum = min(dp[1] + cost[i - 1], dp[0] + cost[i - 2]);
	dp[0] = dp[1];
	dp[1] = sum;
}