122.买卖股票的最佳时机II

贪心算法

思路：

把利润分解为每天为单位的维度，而不是从0天到第3天整体去考虑！

那么根据prices可以得到每天的利润序列：(prices[i] - prices[i - 1])…(prices[1] - prices[0])。

如图：

从图中可以发现，其实我们需要收集每天的正利润就可以，收集正利润的区间，就是股票买卖的区间，而我们只需要关注最终利润，不需要记录区间。

那么只收集正利润就是贪心所贪的地方！

局部最优：收集每天的正利润，全局最优：求得最大利润。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        res =  0
        for i in range(1,len(prices)):
            res += max(0,prices[i]-prices[i-1])
        return res

动态规划

1. 状态定义

状态表示：
$$状态方程=\{\begin{array}{l}dp[i][0]=表示第i天交易完后，手上没有股票时的最大利润，\\ dp[i][1]=表示第i天交易完后，手上持有股票时的最大利润。\end{array}$$

2. 状态转移

状态转移方程为：

$$\{\begin{array}{l}dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i])\\ dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])\end{array}$$

3. 初始化

对第一天（i=0）的状态进行初始化:

dp[0] [0]： 第一天手上无股票，也没有购入股票。

dp[0] [1]： 第一天手上持有股票说明在当天购入了股票，花费 prices[0]prices[0]prices[0]，即所获利润为 −prices[0]-prices[0]−prices[0]。

4. 执行结果

遍历全部的日期i，则最后一天手上没有股票时的状态值dp[n-1] [0]即为我们能够获得的最大利润。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices)
        # dp[i][0]:第i天结束后，手上没有股票的最大利润(第i天卖出股票 )
        # dp[i][1]:第i天结束后，手术持有股票的最大利润(第i天买入股票)
        dp = [[0]*2  for _ in range(n)]

        # 初始化
        dp[0][0] = 0
        dp[0][1] = -prices[0]

        for i in range(1,n):
            # dp[i][0]：max（前一天没有股票，前一天持有股票+当天卖出）
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]) 
            # dp[i][1]：max（前一天持有股票，前一天没有股票+当天买入）
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])
        return max(dp[n-1][0],dp[n-1][1])
        # return dp[n - 1][0]

55.跳跃游戏

思路：

其实跳几步无所谓，关键在于可跳的覆盖范围！

不一定非要明确一次究竟跳几步，每次取最大的跳跃步数，这个就是可以跳跃的覆盖范围。

这个范围内，别管是怎么跳的，反正一定可以跳过来。

那么这个问题就转化为跳跃覆盖范围究竟可不可以覆盖到终点！

每次移动取最大跳跃步数（得到最大的覆盖范围），每移动一个单位，就更新最大覆盖范围。

贪心算法局部最优解：每次取最大跳跃步数（取最大覆盖范围），整体最优解：最后得到整体最大覆盖范围，看是否能到终点。

具体步骤：

1. 初始化能到达的最远位置max_i为 0。
2. 遍历数组 nums。
3. 如果能到达当前位置，即 max_i<i，并且当前位置 + 当前位置最大跳跃长度 > 能到达的最远位置，即 i + nums[i] > max_i，则更新max_i。
4. 遍历完数组，最后比较能到达的最远位置 max_i和数组最远距离 size - 1 的关系

class Solution:
    def canJump(self, nums: List[int]) -> bool:
        size = len(nums)
        max_i = 0
        for i in range(size-1):
            if max_i >=i and i + nums[i] > max_i:
                max_i = i + nums[i]
        return max_i >= size -1 

45.跳跃游戏II

真正解题的时候，要从覆盖范围出发，不管怎么跳，覆盖范围内一定是可以跳到的，以最小的步数增加覆盖范围，覆盖范围一旦覆盖了终点，得到的就是最小步数！

需要统计两个覆盖范围，当前这一步的最大覆盖和下一步最大覆盖。

思路：

1. 当前所能达到的最远位置 end，下一步所能跳到的最远位置 max_pos，最少跳跃次数 setps
2. 遍历数组 nums 的前 len(nums) - 1个元素：
3. 每次更新第 i位置下一步所能跳到的最远位置 max_pos
4. 如果索引 i到达了 end 边界，则：更新 end为新的当前位置 max_pos，并令步数steps+1
5. 最终返回跳跃次数 steps。

class Solution:
    def jump(self, nums: List[int]) -> int:
        end = 0
        max_pos = 0
        step = 0
        for i in range(len(nums)-1):
            max_pos  =  max(i + nums[i],max_pos)
            if i == end:
                end = max_pos
                step += 1
        return  step