您现在的位置是：首页 >学无止境 >后缀树组 哈希+二分做法网站首页学无止境

题目链接：

P4394 - 后缀数组

140. 后缀数组

题目描述

后缀数组 (SA) 是一种重要的数据结构，通常使用倍增或者 DC3 算法实现，这超出了我们的讨论范围。

在本题中，我们希望使用快排、Hash 与二分实现一个简单的 $O(nlo{g}^{2}n)$ 的后缀数组求法。

详细地说，给定一个长度为 $n$ 的字符串 $S$（下标 $0\sim n-1$），我们可以用整数 $k$($0\le k<n$) 表示字符串 $S$ 的后缀 $S(k\sim n-1)$。

把字符串 $S$ 的所有后缀按照字典序排列，排名为 $i$ 的后缀记为 $SA[i]$。

额外地，我们考虑排名为 $i$ 的后缀与排名为 $i-1$ 的后缀，把二者的最长公共前缀的长度记为 $Height[i]$。

我们的任务就是求出 $SA$ 与 $Height$ 这两个数组。

输入格式

输入一个字符串，其长度不超过 $30$ 万。

字符串由小写字母构成。

输出格式

第一行为数组 $SA$，相邻两个整数用 $1$ 个空格隔开。

第二行为数组 $Height$，相邻两个整数用 $1$ 个空格隔开，我们规定 $Height[1]=0$。

输入样例：

ponoiiipoi

输出样例：

9 4 5 6 2 8 3 1 7 0
0 1 2 1 0 0 2 1 0 2

算法

1 计算哈希值和幂

首先，我们计算字符串 $S$ 的每个前缀的哈希值 $h[i]$，以及 $base$ 的各个幂 $p[i]$。这两个数组将在后续的步骤中用于加速排序和计算最长公共前缀。

2 构造后缀数组 SA

我们创建一个后缀数组 $sa$，其初始值为下标值。$sa$ 数组值（假设是 $v$）的含义是 $s[v:n]$ 这一段子串。

然后对其进行排序，排序的规则是根据后缀的字典序进行排序。排序过程中，我们使用了哈希和二分搜索的方式来加速排序。

我们定义了一个比较函数 cmp，用于比较两个后缀的字典序大小。这个函数首先使用二分搜索的方式找到两个后缀的最长公共前缀，然后根据最长公共前缀后面的字符来确定后缀的字典序大小。

3 计算 Height 数组

Height 数组是表示后缀数组中相邻两个后缀的最长公共前缀的长度。我们可以直接使用前面求最长公共前缀的方法来求 Height 数组。

遍历 $sa$ 数组，如果 $i=1$，输出 0；否则，输出 $sa[i]$ 和 $sa[i-1]$ 之间的最长公共前缀长度。

4 输出结果

最后，我们输出 SA 数组和 Height 数组。注意，题目要求输出从 0 开始的下标，所以在输出 SA 数组时需要将每个元素减 1。

时间复杂度

$n$ 是字符串的长度，排序时间复杂度$O(n\log n)$，单次字典序比较$O(\log n)$，总时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

代码

// 爱学习的图灵机
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 3e5 + 10, base = 131;
typedef unsigned long long ULL;

int n;
char s[N];
ULL h[N], p[N];
int sa[N];

ULL get(int l, int r){
    return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
}

// 获取公共最长前缀长度，a和b为在s字符串中的起始位置
ULL getCommonPrefixLen(int a, int b){
    int l = 0, r = min(n - a, n - b) + 1;
    while(l < r){
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if(get(a, a + mid - 1) != get(b, b + mid - 1)) r = mid - 1;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

// 比较两字符串字典序，a和b为在s字符串中的起始位置，含义是a位置之后的串和b位置之后的串
bool cmp(int a, int b){
    int len = getCommonPrefixLen(a, b);
    // 共同最长前缀长度len找到后，子串a~a+len-1 == 子串b~b+len-1
    // 所以a位置开头的串和b位置开头的串、向后数len位置的字符一定不同 a+len!=b+len
    // 比较这两个字符就是字典序比较。 
    // 如果a+len或b+len位置越界，则越界对应的字符串字典序更小。ab, abxxx...， ab字典序更小。
    // 由于越界位置为，越界对应的值一定小, 故无需额外判断。
    return s[a + len] < s[b + len];
}

int main(){
    scanf("%s", s + 1);    
    n = strlen(s + 1);
    p[0] = 1;
    
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        sa[i] = i;
        h[i] = h[i - 1] * base + s[i];
        p[i] = p[i - 1] * base;
    }

    sort(sa + 1, sa + n + 1, cmp);
    
    for(int i = 1; i <= n; ++ i) printf("%d ", sa[i] - 1);
    puts("");
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        if(i == 1) printf("0 ");
        else printf("%d ", getCommonPrefixLen(sa[i], sa[i - 1]));
    }
    
}