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🎨1.算法的复杂度介绍

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。

🎨2.时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度.

📝代码样例

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
         int count = 0;
         for (int i = 0; i < N ; ++ i)
         {
               for (int j = 0; j < N ; ++ j)
               {
                      ++count;
               }
          }
 
         for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
         {
                      ++count;
         }
         int M = 10;
         while (M--)
         {
                     ++count;
         }
 }

🎨3.大O的渐进表示法

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数.
2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项.
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
4.另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N).

📝实例1

void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d
", count);
}

📝实例2

void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d
", count);
}

📝实例3

void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d
", count);
}

📝实例4

1.
这个函数的功能就是在一个字符串里面找第一次出现该字符并返回.
1.我们在第一个位置就找到了：时间复杂度O(1)
2.我们在中间位置找到:时间复杂度O(2/N)
3.我们在尾部找到：时间复杂度O(N)
时间复杂度可以用底线思维来考虑，这里我们用的就是最坏的打算：在尾部找到，所以我们遍历了整个字符串，因为字符串的长度是未知的，所以这里的时间复杂度就是O(N).

📝实例5

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

所以这里就是一个等差数列，它的时间复杂度就是O(N^2).

📝实例6

// 计算BinarySearch的时间复杂度
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid - 1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

📝实例7(⭐两种递归的区别）

1.递归里没有循环

long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;

	return Fac(N - 1) * N;
}

2.递归里有循环

long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
	for (size_t i; i < N; ++i)
	{
		//...
	}
	return Fac(N - 1) * N;
}

🌟误区

友友们可能会被最后一个return Fac(N-1)*N这里的乘号弄混，友友们注意了，我们算时间复杂度是累加的，时间是累加的，跟乘没有任何关系，时间复杂度算的是这个算法在过程中执行指令的次数，这里无论是加减乘除，对于cpu而言，它只是一次简单的计算.

📝实例8

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度
long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

🎨4.空间复杂度的概念

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时额外占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

📝实例1

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

🌟误区

友友们这里可能会有疑问，数组不是有n个空间吗，但是数组这n个空间不算冒泡排序的消耗，这并不是我们为了排序额外开辟的空间，所以这里的空间复杂度是O(1).

📝实例2

long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;

	long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}

友友们，这里空间复杂度就是O(N)了，因为这里我们又额外的开辟了一块n+1个空间.

📝实例3

long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
	return Fac(N - 1) * N;
}

📝实例4(🎃斐波那契递归Fib的空间复杂度）

long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

🖊代码证明

void  Func1()
{
	int a = 0;
	printf("%p
", &a);
}
void  Func2()
{
	int b = 0;
	printf("%p
", &b);
}
int main()
{
	Func1();
	Func2();
	return  0;
}

🌟误区

空间的销毁不是我们把这块空间丢掉了，而是归还使用权，空间是属于操作系统的进程，空间销毁就是我们把使用权还给进程.