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动态规划 — 电线布设

题目描述

说是话，刚看到也是很懵逼，不想交子集是什么？乱七八糟的连线。

其实仔细想想后，觉得题目应该是说给定了这些点的连接端点，然后从他给的连线中选择出不想交的且条数最多的连线，如下面的例子便是其中的一个最大不相交子集。

终点数组 end[i] = {0,8,7,4,2,5,1,9,3,10,6};

解决思路，采用动态规划的方式

dp[ i ] [ j ] ：表示到达端点i 时，最大不相交子集个数

i ：表示 从 1 - N的起点

j ：表示 终点

递推式：

当 i == 1时，

如果 j < end[1]，当前最大不相交子集为空 dp[ 1 ] [ j ] = 0

如果 j >= end[1]，当前最大不相交子集只有一条连线 dp[ 1 ] [ j ] = 1

当 i > 1时，

如果 j < end[i] ，表明当前端点连线还未加入集合 dp[ i ] [ j ] = dp [ i -1 ] [ j ]

如果 j >= end[i]，判断当前连线能否加入最大不相交子集 dp [ i ] [ j ] = Math.max(dp [ i - 1 ] [ j ] , dp [i - 1] [ end[ i ] - 1] + 1 )

其实写到dp [ i ] [ j ] = dp [i - 1] [ j ] 还能理解，但是dp [ i ] [ j ] = Math.max(dp [ i - 1 ] [ j ] , dp [i - 1] [ end[ i ] - 1] + 1 ) 怎么去理解？

看这个最终填表图

比较的是左上角 与 从上一行继承下来的值， 与 dp [i - 1] [ end[ i ] - 1] + 1 比较是看 最大不相交集合中 有多少条线与 当前线不相交

填表过程

初始化

第二行

第三行

第四行

第五行

第六行

第七行

第八行

第九行

第十行

Java代码

public static void main(String[] args) {
    //连线端点
    int[] end = {0,8,7,4,2,5,1,9,3,10,6};
    //i -- > 表示上端点个数  j --> 表示下端点的个数
    //初始化，只有第一个端点时
    /**
         * dp[i][j]
         * i -- > 表示上端点个数  j --> 表示下端点的个数
         * i == 1时
         *    j < end[i] 时
         *      dp[i][j] = 0
         *    j >= end[i]时
         *      dp[i][j] = 1
         * i > 1时
         *    j < end[i] 时  (当前端点代表的线没有被加进集合)
         *      dp[i][j] = dp[i-1][j]
         *    j >= end[i]时  (判断当前端点代表的线是否能够被加进来)
         *      dp[i-1][j] 不能被加进来
         *      dp[i-1][end[i] - 1] + 1 可以被加进来
         *      dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][end[i] - 1] + 1);
         */
    int N = end.length;
    int[][] dp = new int[N][N];
    //在第一个端点头尾连起来的时候，连线的个数都是0
    for(int i = 0; i < end[1]; i++){
        dp[1][i] = 0;
    }
    //超过了端点，证明有一个线被加了进来
    for(int i = end[1]; i < N; i++){
        dp[1][i] = 1;
    }
    //最优子结构
    //每一个端点前的最大个数 为 上一个端点的最大个数 + 1
    for(int i = 2; i < N; i++){
        //在到自己连线处时，最大不相交子集为上一个端点存储的值
        System.arraycopy(dp[i - 1], 0, dp[i], 0, end[i]);
        //在到达当前端点时
        for(int j = end[i]; j < N; j++){
            //判断当前点的线能否被加进来
            //加进来 与 不加进来
            dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i - 1][end[i] - 1] + 1);
        }

    }
    for(int i = 1; i < N; i++){
        for(int j = 1; j < N; j++){
            System.out.print(dp[i][j] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
    
    //根据dp数组获取一种最大不相交子集
    List<Integer> res = new ArrayList<>();
    int j = N - 1;
    for(int i = N - 1; i > 1; i--){
        if(dp[i][j] != dp[i-1][j]){
            res.add(i);
            //换下一个端点
            j = end[i] - 1;
        }
    }
    System.out.println(res);
}
//结果
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 
0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 
0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 
0 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 
0 1 1 2 2 2 2 2 2 3 4 
0 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 
[9, 7, 5, 3]