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0702可分类变量的微分方程-微分方程

gaog2zh 2023-06-09 12:00:03

简介0702可分类变量的微分方程-微分方程

文章目录

1 一阶微分方程变形

本节至第四节我们学习的都是一阶微分方程

$y^{'}=f(x,y)$ （2-1）

一阶微分方程对称形式
$p (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 (2 - 2)$

若以x为自变量，y为因变量，则
$d y d x = − P ( x , y ) Q ( x , y ) frac{dy}{dx}=-frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$
若以y为自变量，x为因变量，则
$d x d y = − Q ( x , y ) P ( x , y ) frac{dx}{dy}=-frac{Q(x,y)}{P(x,y)}$
示例： $d y d x = 2 x ⇒ d y = 2 x d x frac{dy}{dx}=2xRightarrow dy=2xdx$ ,该形式容易求微分方程的解。

例1 求 $frac{dy}{dx}=2xy^2$ 的解
$解：frac{dy}{y^2}=2xdx\ 等式两边积分，int{frac{dy}{y^2}}=int{2xdx}\ -frac{1}{y}=x^2+CRightarrow y=-frac{1}{x^2+C}$

2 可分离变量的微分方程

2.1 定义

一般地，如果一个一阶微分方程能写成
$g (y) d y = f (x) d x (2 - 5)$
的形式，也就是说能把微分方程写成一端只含有y的函数和dy，另一端只含有x的函数和dx，那么原方程称为可分离变量的微分方程。

2.2 解法

若函数 $y = ϕ (x)$ 是方程(2-5)的解
$带入(2-5)式得,g(phi(x))phi^{'}(x)dx=f(x)dx\ 两端求积分,int{g(y)dy}=int{f(x)dx}\ 设G(y)及F(x)分别为g(y),f(x)的原函数，则\ G(y)=F(x)+C qquad(2-6)$
假设 $y = Φ (x)$ 是由关系式（2-6）确定的隐函数
$Phi^{'}(x)=frac{F^{'}(x)}{G^{'}(y)}=frac{f(x)}{g(y)}\ 即y=Phi(x)是微分方程的解$

注：

(2-6)叫做微分方程(2-5)的隐式通解;
解法简单无须显化，简单形式可以显化。

3 例题

例1 求微分方程 $d y d x = 2 x y frac{dy}{dx}=2xy$ 的通解
$解：frac{dy}{y}=2xdx\ 两边积分，int{frac{dy}{y}}=int{2xdx}\ ln|y|=x^2+C_1\ y=pm e^{x^2+C_1}\ 令C=pm e^{C_1},则通解为y=Ce^{x^2}\$
例2 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正，并设降落伞离开跳伞塔时（t=0）速度为零，求降落伞下落速度与时间的关系。
$解：设下落速度为v(t),重力P=mg,方向与v一致\ 阻力R=kv,方向与v相反\ 降落伞所受外力 F=mg-kv，根据牛顿第二定律有\ F=ma,即mfrac{dv}{dt}=mg-kv\ 初值条件v|_{t=0}=0\ 方程分离变量：frac{dv}{mg-kv}=frac{dt}{m}\ 两边积分：int{frac{dv}{mg-kv}}=int{frac{dt}{m}}\ v=frac{mg}{k}+Ce^{-frac{k}{m}t},带入初值条件v|_{v=0}=0\ C=-frac{mg}{k},微分方程的特解\ v=frac{mg}{k}(1-e^{-frac{k}{m}}t)$
例3 求初值问题
$ydx+(1+e^{-x})sin ydy=0\ y|_{x=0}=frac{pi}{4} end{cases}$

$ydy=-frac{1}{1+e^{-x}}dx\ 两边积分 int{ an ydy}=-int{frac{1}{1+e^{-x}}dx}\ -ln|cos y|=-ln(1+e^x)+C_1\ cos y = C(1+e^x),带入初值条件\ C=frac{sqrt{2}}{4},则微分方程的特解为\ cos y=frac{sqrt{2}}{4}(1+e^x)$