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• Leetcode 53. 最大子数组和（经典动态规划问题 + 理解「无后效性」）
• 题目
  • 给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
  • 子数组 是数组中的一个连续部分。
  • 1 <= nums.length <= 10^5
  • -10^4 <= nums[i] <= 10^4
• 解法
  • 动态规划：由于数组需要连续、因此可以定义每个元素作为后缀起点，比较 前一个元素所有后缀的最大值 与 0（不加任何元素） 的最大值，此时定义的状态「无后效性」
  • 定义状态（定义子问题）：dp[n] 代表当前元素为后缀起点的所有后缀最大值
  • 定义转移方程：dp[i]=max(0, dp[i-1])+nums[i]，结果就是 max(dp[0…n-1])
  • 空间压缩：由于 dp[i] 仅与 dp[i-1] 相关，因此可以使用一个值滚动即可
  • 时间复杂度：O（n），空间复杂度：O（1）
• 理解「无后效性」
  • 「无后效性」在李煜东著《算法竞赛进阶指南》，摘录如下：

  • 为了保证计算子问题能够按照顺序、不重复地进行，动态规划要求已经求解的子问题不受后续阶段的影响。这个条件也被叫做「无后效性」。换言之，动态规划对状态空间的遍历构成一张有向无环图，遍历就是该有向无环图的一个拓扑序。有向无环图中的节点对应问题中的「状态」，图中的边则对应状态之间的「转移」，转移的选取就是动态规划中的「决策」。

  • 理解：每个子问题仅求解一次，后续元素的增加 或 子问题的求解 不会影响之前的求解完成的子问题
• 代码

    /**
     * 动态规划：由于数组需要连续、因此可以定义每个元素作为后缀起点，比较 前一个元素所有后缀的最大值 与 0（不加任何元素） 的最大值，
     * 定义动规数组 dp[n] 代表当前元素为后缀起点的所有后缀最大值，可得转移方程：dp[i]=max(0, dp[i-1])+nums[i]，结果就是 max(dp[0..n-1])
     * 空间压缩：由于 dp[i] 仅与 dp[i-1] 相关，因此可以使用一个值滚动即可
     * 时间复杂度：O（n），空间复杂度：O（1）
     */
    private int solution(int[] nums) {
        // 判空
        if (nums == null || nums.length <= 0) {
            return 0;
        }

        // 定义 dp 与初始化
        int dp = nums[0];


        // 循环获取最大值 与 空间压缩
        int res = dp;
        int len = nums.length;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp = Math.max(0, dp) + nums[i];
            res = Math.max(res, dp);
        }

        return res;
    }

参考：经典动态规划问题（理解「无后效性」）