70. 爬楼梯（进阶）

题目

70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢

解析

1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。

每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

2.确定递推公式

求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]

那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]

3.dp数组如何初始化

既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。

4.确定遍历顺序

这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！

所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。

每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

5.举例来推导dp数组

略

Java代码实现

public int climbNStairs(int n,int m){
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (i - j > 0) {
                dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
    }
    return dp[n];
}

322. 零钱兑换

题目

322. 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

解析

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2.确定递推公式

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3.dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;

考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

所以下标非0的元素都是应该是最大值。

4.确定遍历顺序

本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。

本题并不强调集合是组合还是排列。

采用coins放在外循环，target在内循环的方式。

遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。

5.举例推导dp数组

以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

Java代码实现

public int coinChange(int[] coins, int amount) {
    int max = Integer.MAX_VALUE;
    int[] dp = new int[amount + 1];
    Arrays.fill(dp, max);
    dp[0] = 0;
    for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
        for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
            if (dp[j - coins[i]] != max) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
}

279.完全平方数 

题目

279. 完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

解析

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

2.确定递推公式

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。

此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

3.dp数组如何初始化

dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。

从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。

4.确定遍历顺序

我们知道这是完全背包，

本题是求最小数！

所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！

5.举例推导dp数组

已输入n为5例，dp状态图如下：

Java代码实现

public int numSquares(int n) {
    int max = Integer.MAX_VALUE;
    int[] dp = new int[n + 1];
    for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
        dp[i] = max;
    }
    dp[0] = 0;
    for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
        for (int j = i * i; j <= n; j++) {
            if (dp[j - i * i] != max) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[n] == max ? -1 : dp[n];
}