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300.最长递增子序列

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：动态规划之子序列问题，元素不连续！| LeetCode：300.最长递增子序列_哔哩哔哩_bilibili

状态：不会做。

思路

动规五部曲

1. dp[i]的定义

   dp[i]表示以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

2. 状态转移方程

   （前提j < i）

   若nums[i] > nums[j]，【位置i的最长升序子序列长度dp[i]】等于【j从0到i-1各个位置的最长升序子序列长度dp[j]】+ 1 的最大值；

   若nums[i]<=nums[j]，则dp[i]=1，也就是长度为本身，即初始化值。

   所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

   注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。

3. dp[i]的初始化

   每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1，即元素本身。

4. 确定遍历顺序

   dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。

   j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。

   结果是dp数组中所有元素的最大值。

代码

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        vector<int> dp(nums.size(), 1);

        for(int i = 0;i < nums.size();i++){ //i可以从0开始，也可以从1开始
            for(int j = 0; j < i; j++){ //j必须从0开始
                if(nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }

        // 遍历所有dp，取值最大的作为结果
        int res = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++){   
            if(dp[i] > res) res = dp[i];
        }
        return res;
    }
};

674. 最长连续递增序列

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：动态规划之子序列问题，重点在于连续！| LeetCode：674.最长连续递增序列_哔哩哔哩_bilibili

状态：能直接做出来。根据上一题的思路改一下即可。

思路

动规五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

   dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。

   注意这里的定义，一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。

2. 确定递推公式

   若nums[i] > nums[i - 1]，那么【以 i为结尾的连续递增子序列长度dp[i] 】等于【以i - 1为结尾的连续递增子序列长度dp[i-1] 】+ 1 。

   即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;

   注意这里就体现出和动态规划：300.最长递增子序列 (opens new window)的区别！

   因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。

   既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。

3. dp数组如何初始化

   以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。所以dp[i]应该初始1;

4. 确定遍历顺序

   从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。

代码

class Solution {
public:
    int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
       vector<int> dp(nums.size(), 1);

       for(int i = 1; i < nums.size(); i++){
           if(nums[i] > nums[i - 1]) dp[i] = dp[i - 1] + 1;
       } 

        int res = 0;
       for(int i = 0; i < nums.size(); i++){ // 遍历所有dp，取值最大的作为结果
           if(dp[i] > res) res = dp[i];
       }
       return res;
    }
};

718. 最长重复子数组

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：动态规划之子序列问题，想清楚DP数组的定义 | LeetCode：718.最长重复子数组_哔哩哔哩_bilibili

状态：看了dp的定义能写出后面的部分，其实刚开始我对dp的定义是拓展版本（即以下标i为结尾的A和以下标j为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]），仔细去做有可能做出来。

思路

只要想到 用二维数组可以记录两个字符串的所有比较情况，这样就比较好推 递推公式了。 动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

   dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）

   那dp[0][0]是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。

   其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。

2. 确定递推公式

   根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

   即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

   根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

3. dp数组如何初始化

   根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！

   但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

   所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

   举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

4. 确定遍历顺序

   外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

   那又有同学问了，外层for循环遍历B，内层for循环遍历A。不行么？也行，一样的。

代码

class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<vector<int>> dp(nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));

        for(int i = 1; i <= nums1.size(); i++){
            for(int j = 1; j <= nums2.size(); j++){
                if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            }
        }

        int res = 0;
        for(int i = 1; i <= nums1.size(); i++){
            for(int j = 1; j <= nums2.size(); j++){
                if(dp[i][j] > res) res = dp[i][j];
            }
        }
        return res;
    }
};