有限脉冲响应(finite impulse response，FIR)数字滤波器

一、FIR数字滤波器理论介绍

        FIR滤波器的实质就是输入序列与系统脉冲响应的卷积，即：

        其中，N为滤波器的阶数，也即抽头数；x(n)为第n个输入序列；h(n)为FIR滤波器的第n级抽头系数。
        FIR滤波器基本结构如下：

        FIR数字滤波器的基本结构有直接型、级联型、频率抽样型。

二、运用FPGA实现FRI滤波器的几种结构

2.1串行结构

        由FIR滤波表达公式可以看到，其实质是乘法和累加运算，其滤波器的阶数N决定了乘法和累加运算的次数。
        串行结构使用1个乘法器和1个加法器，每个时钟计算1次乘法和加法，需要计算N次（N为阶数）。结构图如下：

        图中标注乘法结果、累加结果处，可以根据FPGA设计增加D触发器，进行节拍处理。当处理完N阶的累加后，累加结果即为有效的y(n)。

        串行结构的FIR滤波器需要非常多的时钟周期才能获得一个序列值得滤波结果，处理速度非常慢，适用于滤波阶数比较低或者处理速度要求低的场景。

2.2 并行结构

在串行结构的基础上，增加乘法器和加法器的数量，得到并行的FIR滤波器结构如下，可以同时进行多个系数的乘法和加法运算，增快FIR运算速度。

        由于FIR滤波器系数h(n)具有对称性，因此可以先进行1次加法，再进行乘法运算，最后再将所有的乘法运算结果进行相加，这样可以减少乘法器的使用数量。得到如下的架构：

        并行结构又称为直接型FIR滤波器结构，如上图所示。用多个加法器和乘法器并行实现，可以达到1个时钟周期输出1个y(n),使用资源角度。N阶的滤波器，需要使用到N/2个乘法器。

2.3转置型结构

        先回顾一下转置定理：如果将源网络中所有的支路方向加以反转，支路增益保持不变，并将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则网络的系统函数不会改变。
        根据转置定理，将上述所说的并行结构进行转置。以下以4阶FIR滤波器介绍转置型结构的由来。

转置定理转换：
A.并行结构初始形态

        在硬件设计中，加法器可以看成信号的叠加，也可以表述成下图：

B.按照转置定理，将所有支路信号方向反转，输入输出位置互换。

        信号叠加处，使用加法器表示如下：

C.转化成输入在左，输出在右的结构

另一种转换方式：
A.并行结构初始形态

        四阶并行结构图如上所示，编写乘数学公式如下：

B.改变y(n)位置

        此时y(n)的表达式不变，依旧是：

C.改变延时单元位置

        此时直观上，y(n)的表达式发生了变化。但是经过转换：

        可以发现，y(n)表达式不变

D.按照阅读习惯，将输出放在右侧。

        可以发现，y(n)表达式不变
        上图即为转置后的滤波器结构。

由此引申出转置示波器结构如下：

        转置FIR滤波器相比较于并行FIR滤波器，不需要给输入信号x(n)提供额外的节拍寄存器，在执行乘法器累加时，一般考虑到时序路径问题，会对乘法结果打一个节拍，作流水线处理（因转置结构中刚好在乘法器后包含一个延时寄存器，这样就无需额外增加流水线寄存器），对于时序的优化具有帮助。即转置FIR滤波器相比较并行FIR滤波器，具有更小的延迟，且能节省FPGA资源。
        并行结构和转置结构，实质是同一种结构，只是运算顺序发生了变化而已。其又称为横截型、卷积型或者直接型结构。

2.4 基于FFT的结构

        已知输入与输出之间的关系是，其频域上的关系为Y(w)=X(w)H(w)。快速傅里叶变换FFT可以快速实现信号的时序频域转换，如下图：

        在FFT的滤波结构中，通过频域的乘法得到输出信号的频域函数，再利用快速傅里叶反变换，还原时域信号，即目标信号y(n)。