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13.1 二次型Quadratic Form
定义
二次型是一个向量的函数，它的定义为：
Q
(
x
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
i
x
j
Q(old x)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j
Q(x)=i=1∑nj=1∑naijxixj
二次型有矩阵形式，所以二次型可以写成：
Q
(
x
）
=
x
T
A
x
Q(old x）=old x^TAold x
Q(x）=xTAx
它的标准矩阵形式为：
A
=
(
a
11
1
2
a
12
⋯
a
1
n
1
2
a
12
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
1
2
a
1
n
a
2
n
⋯
a
n
n
)
A=egin{pmatrix} a_{11} & frac12a_{12} & cdots & a_{1n}\ frac12a_{12} & a_{22} & cdots & a_{2n}\ vdots & vdots & ddots & vdots\ frac12a_{1n} & a_{2n} & cdots & a_{nn}\ end{pmatrix}
A=
a1121a12⋮21a1n21a12a22⋮a2n⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann
所以二次型的标准矩阵是一个对称阵。
举例
如定义以下二次型:
Q
(
x
）
=
3
x
1
x
1
+
4
x
1
x
2
+
5
x
2
x
2
Q(old x）=3x_1x_1+4x_1x_2+5x_2x_2
Q(x）=3x1x1+4x1x2+5x2x2
它的标准型为：
A
=
(
3
2
2
5
)
A=egin{pmatrix} 3 & 2\ 2 & 5\ end{pmatrix}
A=(3225)
但是也可以这样表示：
A
=
(
3
3
1
5
)
A=egin{pmatrix} 3 & 3\ 1 & 5\ end{pmatrix}
A=(3135)
把向量
(
1
,
2
)
T
(1,2)^T
(1,2)T代入，计算结果都是31.
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